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segunda-feira, 17 de fevereiro de 2020

Como calcular arranjo e combinação simples em uma calculadora Casio


Ao lidar com problemas de Análise Combinatória, podemos nos deparar com cálculos extremamente trabalhosos ou cansativos. Diante disso, o uso de uma calculadora científica pode facilitar em muito as nossas vidas e, portanto, convém que saibamos explorar todos os recursos que estão ao alcance de nossas mãos.

A seguir, irei explicar como é feito o cálculo do número de arranjos simples e combinações simples através de uma calculadora bastante popular entre os estudantes de Exatas: nossa amada Casio, modelo fx-82 MS (foto abaixo).

Calculadora Casio (Modelo fx-82MS).
Imagem do autor.

Bom, vamos agora para a parte que nos interessa:

ARRANJO SIMPLES

Dica: lembre-se que, num arranjo, a ordem importa!

O cálculo do número de arranjos simples é algo extremamente fácil:

Vamos supor o cálculo do seguinte arranjo: A50,3, isto é, um arranjo de 50 elementos, tomados 3 a 3.

Nesse caso:

1) Digita-se o total de elementos do arranjo: 50;
2) Aperta-se Shift e, em seguida, o botão nCr;
3) Digita-se o número de elementos do "agrupamento": 3;
4) Por último, aperta-se o botão de igual (=).

Para o exemplo acima, confira que o resultado será 117600.

COMBINAÇÃO SIMPLES

Dica: lembre-se que, numa combinação simples, a ordem NÃO importa!

O cálculo do número de combinações simples é também muito tranquilo:

Vamos supor o seguinte cálculo: C60,2, ou seja, combinação simples de 60 elementos tomados 2 a 2.

Nesse caso:

1) Digita-se o total de elementos da combinação: 60;
2) Aperta-se o botão nCr;
3) Digita-se o número de elementos do "agrupamento": 2;
4) Por último, aperta-se o botão de igual (=).

Para o exemplo acima, confira que o resultado será 1770.

Simples, rápido e prático, não é mesmo? Caso tenha gostado, não deixe de conferir outras postagens interessantes aqui no blog! 👨‍🔬

📢 Gostou deste artigo? Deixe suas sugestões nos comentários sobre possíveis temas que você gostaria de saber um pouco mais!

Fonte: Guia do Usuário - Calculadora Casio (Modelo fx-82 MS).

segunda-feira, 10 de outubro de 2016

Tem vida inteligente lá fora? Como estimar o número de civilizações extraterrestres com possibilidade de comunicação


Como até hoje não se tem relatos de comunicação extraterrestre, uma pergunta ainda incomoda parte dos cientistas: será que a Terra é o único planeta dotado de vida inteligente em meio a uma galáxia com mais de 200 bilhões de estrelas? Ou será que o número de civilizações com capacidade de se comunicar conosco é muito pequeno? 


Radiotelescópio para detecção de comunicação extraterrestre
 (Arecibo, Porto Rico). Imagem: https://www.shoretrips.com
Em 1961, o astrofísico Frank Drake propôs uma fórmula que permitiria estipular esse número. Sua equação é uma das mais ousadas e curiosas que se conhece. Na verdade, se trata de um argumento probabilístico que fez muito sucesso entre alguns simpatizantes da vida extraterrestre, incluindo o astrônomo Carl Sagan e o escritor de ficção científica Isaac Asimov. Os valores encontrados dependem, contudo, do otimismo de quem utiliza a fórmula. Foi por isso que uma corrente de cientistas tachou a equação de “pseudociência”, visto que ela não tem qualquer comprovação científica de que realmente funcione. Mas em meio a tanta controvérsia, não se pode deixar de mencionar que a fórmula pode produzir resultados curiosos.  

Na equação de Drake, o número de civilizações, N, com a qual a comunicação é possível, corresponde ao resultado da multiplicação de sete variáveis:

N = R* x fp x Ne x fl x fi x fc x L
Onde:

R* = taxa de formação de estrelas parecidas com o Sol em nossa galáxia (estrelas/ano);
fp = fração de estrelas que possuem planetas em órbita;
Ne = número de planetas por sistema que podem possuir vida;
fl = percentual de planetas com capacidade de possuir vida em que a vida de fato se desenvolveu;
fi = percentual de planetas com vida em que a vida inteligente se desenvolveu;
fc = percentual de civilizações que desenvolveram tecnologia de comunicação interestelar;
L = o tempo que tal civilização pode liberar sinais de comunicação no espaço (anos).

O quadro abaixo informa alguns intervalos para as variáveis acima:

Intervalos para estimativa
R*
1 a 10 estrelas/ano
fp
20% a 50%
Ne
1 a 3
fl
33% a 100%
fi
100%
fc
10% a 20%
L
1.000 a 100.000.000 anos

Por exemplo, vamos escolher cada variável com base num critério:

R* = 5 (média utilizando os extremos do intervalo da tabela acima); 
fp = 50% (metade das estrelas possuem planetas em órbita); 
Ne = 3 (três planetas com chance de possuir vida, assim como a Terra e seus dois planetas vizinhos); 
fl = 33% (apenas um dos três planetas possui vida, assim como a Terra em meio a Vênus e Marte); 
fi = 100% (o planeta com vida desenvolve vida inteligente, assim como aconteceu com a Terra); 
fc = 15% (média utilizando os extremos do intervalo da tabela acima); 
L = 100.000 (considerando que depois de 100.000 anos não sejam mais necessários esforços de comunicação).

N = 37125 civilizações

Agora é sua vez...  Faça suas estimativas e jogue os valores na calculadora para descobrir o quão otimista você é com relação à existência de vida inteligente comunicativa na galáxia. A título de curiosidade, Sagan encontrou 1 milhão de civilizações, enquanto Asimov calculou 530 mil. E o próprio Drake, de acordo com os valores encontrados em suas pesquisas, chegou a apenas 2,31 civilizações.

Fontes:

SAGAN, C. Série Cosmos. EUA, 1980. <== Assistam!!!

domingo, 22 de maio de 2016

Integração numérica da curva de uma distribuição normal padrão: estatística aliada a métodos numéricos


Alguns eventos aleatórios, quando em um conjunto suficientemente grande, apresentam determinados padrões que permitem prever certas probabilidades. Quando a quantidade de eventos aumenta em torno da média e diminui quando se afasta da mesma, seguindo um padrão simétrico, temos uma distribuição normal, geralmente representada por uma curva em formato de sino. Diversos eventos aleatórios seguem a distribuição normal: a estatura das pessoas, a pressão arterial, a resistência do concreto, etc.

Sendo a distribuição normal uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) contínua, a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor dentro de um intervalo [a,b] será a área ou integral de f(x) de a até b.

Para determinarmos essa probabilidade, o mais usual é recorremos a tabelas padronizadas. Essas tabelas são montadas com base numa distribuição normal padrão, onde a média é nula e a variância é tomada como sendo 1. Essa distribuição normal pode ser expressa pela fórmula:
A distribuição normal padrão com base nessa função pode ser visualizada no gráfico a seguir:


A variável aleatória normal padrão é denotada por Z e a probabilidade de que Z seja menor que um z calculado será P(Z≤z) e corresponderá à integral da função acima de -∞ até z. Infelizmente não há uma expressão exata para o cálculo da integral de uma f.d.p. normal. O que nos resta é obtermos valores aproximados por meio de uma integração numérica. A ideia foi utilizar aqui uma integração por meio da regra dos 3/8 de Simpson composta. 

Primeiramente foi adotado um valor para z=-1,2 (valor arbitrário apenas para teste). A integração da f.d.p. normal padrão pela regra dos 3/8 de Simpson, com passo de integração h=0,05, permitiu encontrar um valor bastante próximo àquele encontrado em tabela: P(Z≤-1,2)=0,1151. A diferença entre os valores foi de apenas 0,0001. A integral corresponde à área sob a curva do gráfico apresentado abaixo:


É claro que para montagem da tabela completa seria necessária a integração para cada valor de z (adotando esse valor como limite superior da integral). Nesse caso, maiores valores de z exigiriam números de subintervalos cada vez maiores para manter uma aproximação adequada.

Referências:

CAMPOS, F. F. Algoritmos Numéricos. 2ª Ed. Editora: LTC, 2007.
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5ª Ed. Editora: LTC, 2012.

domingo, 15 de maio de 2016

Matemática da loteria: aprenda a calcular a chance de você ganhar na Mega Sena


Ganhar na loteria é o sonho de muitos, mas não é pra qualquer um... Embora a matemática nos ofereça métodos seguros para calcular a probabilidade de acerto, o que parece contar de fato é a sorte, mesmo que isso pareça ir contra toda nossa lógica.

O cálculo para estabelecermos a probabilidade de ganhar na mega fazendo uma aposta de seis dezenas é bastante simples. Primeiramente devemos estabelecer as possíveis combinações que poderão sair no dia do sorteio: sendo 60 a quantidade total de números na cartela, devemos tomá-los seis a seis. 



Como todos sabem, os números na mega sena não se repetem e a ordem com que são apresentados não importa. Na Mega da Virada de 2015, por exemplo, você poderia ganhar jogando 02-18-31-42-51-56 ou 56-51-42-31-18-02, pois a ordem dos números aqui não nos interessa. Por essa razão devemos desconsiderar os agrupamentos que se diferem apenas pela ordem dos elementos. Para fazer isso basta dividir o arranjo por uma permutação dos seis números: Pn= 6!

Assim sendo, a quantidade de possíveis combinações de números que podemos fazer na mega sena é: 

(60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55)/6! = 50.063.860

A essa altura você já deve ter percebido que se trata de uma combinação simples. Por isso a fórmula matemática para combinação nos leva ao mesmo resultado:

C60,6 = 60!/[6!(60-6)!] = 50.063.860

A probabilidade de acertar num sorteio da sena, portanto, é de 1 em 50.063.860. 

Quando resolvemos apostar com 15 números na cartela fazemos combinações de seis números com esses 15 números escolhidos, isto é:

C15,6 = 15!/[6!(15-6)!] = 5005

Isso significa que, ao jogarmos com 15 números, aumentamos 5005 vezes a nossa chance de acerto. Se a aposta mínima custa R$ 3,50, uma aposta com 15 dezenas custará 5005 vezes mais, isto é: R$ 17.517,50. Mas tanto faz você fazer 5005 apostas mínimas ou jogar com 15 dezenas: para a matemática a probabilidade é a mesma.

A chance de ganhar a quina na mega sena é calculada considerando os seis números sorteados tomados de 5 em 5, isto é, C6,5 = 6. O último número que forma o conjunto de seis dezenas jogadas por você poderá ser qualquer um, desde que seja diferente daqueles que saíram no sorteio. Portanto você deve multiplicar a combinação por 54. Sendo 6 x 54 = 324, a chance de você ganhar na quina é 324 vezes maior do que a de ganhar na sena.

Segundo o Mundo Bizarro (link aqui), a probabilidade de morrer atingido por um raio é de 1 em 2.320.000. A probabilidade da Terra colidir com um asteroide nos próximos 100 anos é de 1 em 5 mil... e a de ser atingido por uma peça de avião caindo é de 1 em 10 milhões... Perceba que é mais fácil você "abotoar o paletó" por eventos catastróficos do que ganhar na mega sena... 

Talvez isso o desmotive a sonhar com aquelas férias no Caribe, mas se a sorte resolver bater na sua porta, quem sabe o sonho não se torne realidade? Faça sua aposta e cruze os dedos!

Fonte: 

http://vestibular.uol.com.br/revisao-de-disciplinas/matematica/faca-calculos-para-acertar-a-megasena.jhtm