A série de Fourier na investigação de fenômenos periódicos

Uma função periódica é aquela que se repete após um período T, de forma que f(x+T) = f(x). Muitas vezes somos obrigados a lidar com funções deste tipo bastante complicadas. Uma alternativa é expressar tais funções por meio de uma série infinita de senos e/ou cossenos. Tais séries são denominadas séries de Fourier, uma homenagem a Joseph Fourier, o primeiro a utilizá-las sistematicamente em seus estudos de condução de calor.

A série de Fourier pode ser considerada uma das mais belas séries. Assim como as séries de Taylor, ela fornece um método de se expressar funções bastante complicadas por meio de funções elementares, com as quais estamos familiarizados.

Não vamos nos atentar a deduções de fórmulas, mas partindo-se do princípio de ortogonalidade das funções seno e cosseno, pode-se mostrar que:

Encontrar uma série de Fourier é basicamente obter os coeficientes a0, am e bm; e substituí-los, em seguida, dentro da fórmula. Os valores de tais coeficientes podem ser calculados por meio das relações:

onde o período fundamental T = 2L.

Mas, graficamente, o que representa uma série de Fourier?

Uma série de Fourier é aquela que se aproxima do gráfico de uma função periódica à medida que o valor de m cresce. Quando fazemos m variar até infinito, a curva da série de Fourier se acomoda perfeitamente sobre a curva da função periódica.

O gráfico abaixo, por exemplo, criado por meio de uma planilha no Excel, mostra uma série de Fourier representante de uma onda quadrada com L = 1 e m variando de 1 até 8, com o "passo" de x igual a 0,025:

Podemos perceber que nos pontos onde há descontinuidades a série de Fourier se afasta um pouco mais da função periódica. Esse fenômeno é conhecido como fenômeno de Gibbs.

Tais séries têm uma aplicação muito ampla na ciência e engenharia, pois são ferramentas valiosas na investigação de fenômenos periódicos. Uma onda sonora é um ótimo exemplo de fenômeno desse tipo. Para esse exemplo específico, cada termo da soma de Fourier irá representar um tom audível e o módulo do coeficiente a amplitude de cada componente. Esse estudo das frequências que compõem um som complexo é conhecido como análise espectral.

Fontes:

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8. ed. LTC Editora. 434 p.

MAZORCHE, S. Séries e Integrais de Fourier. Disponível em: <http://www.ufjf.br/sandro_mazorche/files/2012/11/Equa%C3%A7%C3%B5es-Diferenciais-II-Series-de-fourier.pdf>. Acesso em: 24 jun. 2016.