Modelagem paramétrica em projetos: matemática e arquitetura de mãos dadas

A modelagem paramétrica, caracterizada por fazer uso de variáveis ou parâmetros para concepção da geometria de elementos construtivos, pode ser um termo novo para alguns, mas os projetos baseados nessa forma inovadora de criação de desenhos têm se mostrado cada vez mais usuais.

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O interesse da modelagem paramétrica é criar formas geométricas por meio de recursos computacionais e, após a etapa de planejamento, construí-las fisicamente, por meio de modelos espaciais derivados dos desenhos parametrizados. Essa nova forma de modelagem permite a reprodução gráfica de superfícies contínuas de acordo com os dados inseridos nos algoritmos.

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Ao invés de se construir uma superfície ou volume por meio do traçado imaginativo do arquiteto, a modelagem paramétrica possibilita a criação de diferentes formas geométricas por meio de iterações e cálculos computacionais, criando desenhos que obedecem às leis matemáticas. Diante disso, o controle sobre a construção geométrica por parte do projetista poderá ser feito através do monitoramento das variáveis dentro de suas respectivas funções. 

Centro de Heydar Aliyev, Azerbaijão.
Imagem: arcoweb.com.br

Em meio às plataformas vetoriais como o AutoCAD e, mais atualmente, o próprio BIM, o arquiteto acaba por se ver refém das limitações de cada programa. Com a modelagem paramétrica torna-se possível superar essas restrições, tendo em vista que o projeto passa a se comportar como um “organismo vivo”, capaz de se adequar às diversas mudanças que surgem ao longo da fase de planejamento. Se o projeto estrutural, por exemplo, exigir o aumento da largura de uma viga, é possível adequar toda a geometria da construção através de uma simples alteração de parâmetros.

Imagem: teabj.com

Os cálculos e geração dos gráficos parametrizados, em grande parte dos casos, serão de grande complexidade, sendo necessário o uso de ferramentas computacionais. Alguns programas e plugins, como o Rhinoceros e o Grasshopper, podem ser utilizados para criação, investigação e análise das superfícies e objetos.

Para saber mais sobre plugins paramétricos: clique aqui.

A princípio, pode nos parecer que a parametrização seja uma oposição à racionalização de projetos dentro da indústria da construção. Há de se destacar, contudo, que a arquitetura paramétrica é na verdade uma evolução do pensamento racionalizado, sendo capaz de atender de forma satisfatória os quesitos de sustentabilidade, conforto térmico e personalização de ambientes. Essa nova forma de se projetar é ainda uma excelente forma de estimular a criatividade, além de colaborar para o desenvolvimento do pensamento lógico, abstrato e associativo.

Fontes:

http://www.revistas.usp.br/gestaodeprojetos/article/viewFile/51010/55077

http://2030studio.com/algoritmos/

http://www.au.pini.com.br/arquitetura-urbanismo/252/com-arquitetura-parametrica-subdv-mistura-tecnologia-de-projetacao-com-assentamento-339066-1.aspx

Calculando média e desvio-padrão em uma calculadora Casio

Além de estarmos susceptíveis a cometer uma série de erros, calcular média e desvio-padrão de um conjunto de dados pode ser uma tarefa cansativa e entediante.

Hoje as modernas calculadoras científicas facilitam nossas vidas de uma maneira espetacular. Basta inserir os dados e depois pressionar poucos botões para se chegar ao resultado esperado num piscar de olhos.

Como forma de ilustrar essa praticidade, resolvi escrever um passo-a-passo simples mostrando como se calcula a média e o desvio-padrão através de uma calculadora Casio, modelo fx-82 MS (foto abaixo).

Calculadora Casio (Modelo fx-82 MS).
Imagem do autor.

Geralmente os próprios manuais das calculadoras ensinam como se fazer uma variedade de cálculos, incluindo cálculos estatísticos. Quando estiver na dúvida, não deixe de dar uma olhada no Guia do Usuário de sua máquina.

Média e desvio-padrão em uma calculadora Casio fx-82 MS:

1) Ligue sua calculadora, aperte Mode e escolha a opção 2 (SD);

2) Agora digite o primeiro dado e aperte M+ (para registrar na memória);

3) Insira o próximo número e aperte M+, siga fazendo isso para cada dado a ser inserido;

4) Após registrar todos os dados na memória de sua calculadora, aperte Shift e o número 2 (S-VAR);

5) Escolha a opção 1 para média, 2 para desvio-padrão populacional e 3 para desvio-padrão amostral;

6) Aperte o botão de igual (=) e confira o resultado;

7) Se necessário, retorne ao passo 4, escolha outra opção e aperte novamente o botão de igual (=) para ver o resultado relativo à opção escolhida.

Simples, prático e rápido, não é mesmo? 👾

Fonte: Guia do Usuário - Calculadora Casio (Modelo fx-82 MS).

A série de Fourier na investigação de fenômenos periódicos

Uma função periódica é aquela que se repete após um período T, de forma que f(x+T) = f(x). Muitas vezes somos obrigados a lidar com funções deste tipo bastante complicadas. Uma alternativa é expressar tais funções por meio de uma série infinita de senos e/ou cossenos. Tais séries são denominadas séries de Fourier, uma homenagem a Joseph Fourier, o primeiro a utilizá-las sistematicamente em seus estudos de condução de calor.

A série de Fourier pode ser considerada uma das mais belas séries. Assim como as séries de Taylor, ela fornece um método de se expressar funções bastante complicadas por meio de funções elementares, com as quais estamos familiarizados.

Não vamos nos atentar a deduções de fórmulas, mas partindo-se do princípio de ortogonalidade das funções seno e cosseno, pode-se mostrar que:

Encontrar uma série de Fourier é basicamente obter os coeficientes a0, am e bm; e substituí-los, em seguida, dentro da fórmula. Os valores de tais coeficientes podem ser calculados por meio das relações:

onde o período fundamental T = 2L.

Mas, graficamente, o que representa uma série de Fourier?

Uma série de Fourier é aquela que se aproxima do gráfico de uma função periódica à medida que o valor de m cresce. Quando fazemos m variar até infinito, a curva da série de Fourier se acomoda perfeitamente sobre a curva da função periódica.

O gráfico abaixo, por exemplo, criado por meio de uma planilha no Excel, mostra uma série de Fourier representante de uma onda quadrada com L = 1 e m variando de 1 até 8, com o "passo" de x igual a 0,025:

Podemos perceber que nos pontos onde há descontinuidades a série de Fourier se afasta um pouco mais da função periódica. Esse fenômeno é conhecido como fenômeno de Gibbs.

Tais séries têm uma aplicação muito ampla na ciência e engenharia, pois são ferramentas valiosas na investigação de fenômenos periódicos. Uma onda sonora é um ótimo exemplo de fenômeno desse tipo. Para esse exemplo específico, cada termo da soma de Fourier irá representar um tom audível e o módulo do coeficiente a amplitude de cada componente. Esse estudo das frequências que compõem um som complexo é conhecido como análise espectral.

Fontes:

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8. ed. LTC Editora. 434 p.

MAZORCHE, S. Séries e Integrais de Fourier. Disponível em: <http://www.ufjf.br/sandro_mazorche/files/2012/11/Equa%C3%A7%C3%B5es-Diferenciais-II-Series-de-fourier.pdf>. Acesso em: 24 jun. 2016.

A regra do LIATE para processo de integração por partes

Sabe quando surge aquela integral que só dá pra ser revolvida por partes? Pois então... quando vamos escolher os termos u e dv, é importante que saibamos escolhê-los de forma sábia, pois do contrário podemos dificultar o processo de integração.

Uma regra que funciona para a maioria dos casos - e que nos oferece uma espécie de luz sobre as trevas ocultas do Cálculo - é a chamada regra do LIATE. Partindo dessa regra, devemos escolher os termos u e dv de acordo com a ordem que as funções são representadas dentro do anagrama "L-I-A-T-E":

L = funções Logarítmicas

I = funções trigonométricas Inversas

A = funções Algébricas

T = funções Trigonométricas

E = funções Exponenciais

Assim sendo:

Na integral:

o ideal é que façamos u = ln(ax + b) e dv = [1/√(ax+b)] dx

Nesta outra integral:

o mais sensato seria tomarmos u = arctg x e dv = x dx.

Essa regra funciona para muitos casos, mas não é sempre que dá certo. Porém, na falta de uma regra mais eficiente, essa pode ser a melhor opção...

Bons estudos!!!