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segunda-feira, 17 de fevereiro de 2020

Como calcular arranjo e combinação simples em uma calculadora Casio


Ao lidar com problemas de Análise Combinatória, podemos nos deparar com cálculos extremamente trabalhosos ou cansativos. Diante disso, o uso de uma calculadora científica pode facilitar em muito as nossas vidas e, portanto, convém que saibamos explorar todos os recursos que estão ao alcance de nossas mãos.

A seguir, irei explicar como é feito o cálculo do número de arranjos simples e combinações simples através de uma calculadora bastante popular entre os estudantes de Exatas: nossa amada Casio, modelo fx-82 MS (foto abaixo).

Calculadora Casio (Modelo fx-82MS).
Imagem do autor.

Bom, vamos agora para a parte que nos interessa:

ARRANJO SIMPLES

Dica: lembre-se que, num arranjo, a ordem importa!

O cálculo do número de arranjos simples é algo extremamente fácil:

Vamos supor o cálculo do seguinte arranjo: A50,3, isto é, um arranjo de 50 elementos, tomados 3 a 3.

Nesse caso:

1) Digita-se o total de elementos do arranjo: 50;
2) Aperta-se Shift e, em seguida, o botão nCr;
3) Digita-se o número de elementos do "agrupamento": 3;
4) Por último, aperta-se o botão de igual (=).

Para o exemplo acima, confira que o resultado será 117600.

COMBINAÇÃO SIMPLES

Dica: lembre-se que, numa combinação simples, a ordem NÃO importa!

O cálculo do número de combinações simples é também muito tranquilo:

Vamos supor o seguinte cálculo: C60,2, ou seja, combinação simples de 60 elementos tomados 2 a 2.

Nesse caso:

1) Digita-se o total de elementos da combinação: 60;
2) Aperta-se o botão nCr;
3) Digita-se o número de elementos do "agrupamento": 2;
4) Por último, aperta-se o botão de igual (=).

Para o exemplo acima, confira que o resultado será 1770.

Simples, rápido e prático, não é mesmo? Caso tenha gostado, não deixe de conferir outras postagens interessantes aqui no blog! 👨‍🔬

📢 Gostou deste artigo? Deixe suas sugestões nos comentários sobre possíveis temas que você gostaria de saber um pouco mais!

Fonte: Guia do Usuário - Calculadora Casio (Modelo fx-82 MS).

domingo, 8 de janeiro de 2017

Calculando média e desvio-padrão em uma calculadora Casio


Além de estarmos susceptíveis a cometer uma série de erros, calcular média e desvio-padrão de um conjunto de dados pode ser uma tarefa cansativa e entediante.

Hoje as modernas calculadoras científicas facilitam nossas vidas de uma maneira espetacular. Basta inserir os dados e depois pressionar poucos botões para se chegar ao resultado esperado num piscar de olhos.

Como forma de ilustrar essa praticidade, resolvi escrever um passo-a-passo simples mostrando como se calcula a média e o desvio-padrão através de uma calculadora Casio, modelo fx-82 MS (foto abaixo).

Calculadora Casio (Modelo fx-82 MS).
Imagem do autor.

Geralmente os próprios manuais das calculadoras ensinam como se fazer uma variedade de cálculos, incluindo cálculos estatísticos. Quando estiver na dúvida, não deixe de dar uma olhada no Guia do Usuário de sua máquina.

Média e desvio-padrão em uma calculadora Casio fx-82 MS:

1) Ligue sua calculadora, aperte Mode e escolha a opção 2 (SD);
2) Agora digite o primeiro dado e aperte M+ (para registrar na memória);
3) Insira o próximo número e aperte M+, siga fazendo isso para cada dado a ser inserido;
4) Após registrar todos os dados na memória de sua calculadora, aperte Shift e o número 2 (S-VAR);
5) Escolha a opção 1 para média, 2 para desvio-padrão populacional e 3 para desvio-padrão amostral;
6) Aperte o botão de igual (=) e confira o resultado;
7) Se necessário, retorne ao passo 4, escolha outra opção e aperte novamente o botão de igual (=) para ver o resultado relativo à opção escolhida.

Simples, prático e rápido, não é mesmo? 👾

Fonte: Guia do Usuário - Calculadora Casio (Modelo fx-82 MS).

terça-feira, 29 de novembro de 2016

Da teoria do caos à geometria fractal: a beleza dos sistemas caóticos

Imagem: http://www.globoforce.com/
Em 1960, Edward Lorenz, um meteorologista do M.I.T., desenvolveu um programa de computador composto por 12 equações simples, numa tentativa de realizar previsões do tempo a longo prazo. Entretanto, o que Lorenz descobriu foi que pequenos erros em um par de variáveis produziam resultados catastróficos, com efeitos completamente desproporcionais. A descoberta de Lorenz foi batizada por ele de “efeito borboleta”, tirada do título de seu artigo publicado em 1979: “Previsibilidade: O bater de asas de uma borboleta no Brasil pode provocar um furacão no Texas?”.

Outro exemplo interessante surgiu na década de 70, quando o biólogo Robert May examinou um modelo simples que fornecia o crescimento de uma população. A equação funcionava de forma que cada resultado anterior ia alimentando a iteração seguinte. O interessante é que dependendo dos fatores utilizados tais resultados eram completamente diferentes do esperado.

Para estes mesmos resultados catastróficos observados, se os respectivos gráficos fossem desenhados, veríamos padrões ou um modelo de organização. Isso demonstra que mesmo os eventos que julgamos imprevisíveis podem possuir um comportamento organizado dentro da natureza. Há diversos exemplos de sistemas caóticos: fluidos em escoamento turbulento, condições atmosféricas, população de insetos, reações químicas, etc. Em tais sistemas, os processos recorrentes ou iterativos numa análise geométrica podem gerar objetos em que suas partes seguem o mesmo padrão do objeto original.  

Imagem: http://www.fractalposter.com/
Uma ideia parecida pode ser estendida até mesmo para a geografia. Em seu artigo “Qual a extensão da Costa Britânica?”, Benoit Mandelbrot sugeriu que não importava o quanto você se aproximasse do litoral, o grau de imprecisão das medidas pareceria o mesmo. Foi necessário, por isso, ampliar a noção de dimensão dentro da matemática. Mandelbrot introduziu a ideia de dimensões fracionais para descrever a imprecisão que observou em determinados modelos. Em 1975, ele adotou o termo “fractal” (do latim fractus, fração, quebrado) para nomear essa nova geometria dimensional fracional e suas classes especiais de curvas definidas recursivamente.

Em termos visuais, um fractal pode produzir imagens belíssimas. Alguns dos exemplos clássicos são a Curva e a Estrela de Koch, o Triângulo e o Carpete de Sierpinski, o Conjunto de Mandelbrot e a Curva de Peano. 

O vídeo abaixo mostra um zoom num fractal baseado no Conjunto de Mandelbrot. Fica fácil perceber como os padrões se repetem à medida que a imagem é ampliada. Trata-se de uma das proezas mais belas da matemática, sem sombra de dúvidas. 




Fontes:

domingo, 11 de setembro de 2016

Googol e googolplex: que números são esses?

Em um dos episódios da série Cosmos, Carl Sagan comenta sobre a infinidade dos números e cita uma interessante passagem: um matemático chamado Edward Kasner, no século passado, pediu ao seu sobrinho de nove anos que inventasse um nome para um número muito grande: 10 elevado a 100... Seu sobrinho acabou chamando o tal número de googolTrata-se de um número absurdamente grande, mas ainda assim tão longe do infinito quanto o número 1. Um googol seria o número 1 seguido de 100 zeros.

Se pensarmos no número 10 elevado a um googol, um número ainda mais assombroso, estaremos a falar de um googolplex! Estamos nos referindo agora ao número 1 seguido de um googol de zeros! Estima-se que há mais zeros no googolplex do que a quantidade de partículas no Universo observável.

1 googol = 10^100
1 googolplex = 10^(10^100)

Na geometria plana, um polígono com um googol de lados seria um goolgólgono. Se tal polígono fosse regular seria semelhante a um círculo. 

Imagem: http://simpsons.wikia.com
Podemos estender a ideia para a geometria espacial: já pensou num googoledro convexo? Será que seria semelhante a uma esfera?

Agora o mais curioso de tudo isso... o nome googol serviu de inspiração para o maior site de busca que conhecemos hoje! Isso mesmo, o Google! Alguns dizem que os fundadores buscaram inspiração no nome desse gigantesco número, criando assim uma espécie de trocadilho, que hoje se tornou conhecido mundialmente.

Fontes:

SAGAN, CARL. Série Cosmos.

domingo, 14 de agosto de 2016

Simulações gratuitas em ciências e matemática: conheça o PhET


Está em busca de experiências enriquecedoras para melhorar o seu aprendizado em ciências e matemática? Que tal baixar simulações interativas e gratuitas que podem ser testadas em seu computador e contribuir para o seu aprendizado? Então é hora de conhecer o PhET.

Página inicial do PhET.
O PhET é um site conta com mais de 100 simulações em física, química, ciências da terra, biologia e matemática. Um dos principais objetivos desse projeto é proporcionar aos alunos um ambiente de exploração, de forma que possam se envolver com o conteúdo científico.

Ficou curioso? É só acessar o link abaixo para conhecer um monte de simulações interessantes sobre os mais variados fenômenos:


Fonte: 

sábado, 29 de agosto de 2015

Linha do tempo da matemática - Parte III (A Europa respira matemática)

Foi com o início do Renascimento, entre fins do século XIV, que as ciências voltaram a florescer na Europa. Com o fim da Idade Média, importantes estudos foram desenvolvidos e importantes trabalhos começaram a ser publicados e divulgados. Descartes, Fermat, Newton, Leibniz, os Bernoulli, Euler, Gauss e Riemann foram alguns dos matemáticos mais proeminentes dos últimos 400 anos.

René Descartes (1596 - 1650): a geometria analítica


Imagem: http://www.universidadefalada.com.br/
discurso-do-metodo-mp3.html
Filósofo e matemático francês, escreveu em seu livro La Geometrie (A Geometria) um método que permitia a localização de pontos em um plano, de forma extremamente simples:  bastava que fossem determinadas as distâncias do ponto a dois eixos perpendiculares tomados como sistema de referência. Com essa nova forma de descrever a localização de pontos no espaço, Descartes deu um enorme salto na matemática: a geometria podia agora ser reescrita para a linguagem da álgebra e vice-versa. Surgia assim a Geometria Analítica.


Isaac Newton (1643 - 1727): das séries infinitas ao cálculo infinitesimal


Imagem: http://formacaosolidaria.org.br/2015/07/08/
cinco-fatos-estranhos-sobre-isaac-newton/
Considerado como alguns como o pai da física, é também considerado por outros como o pai do cálculo. O fato é que o cálculo para Newton surgiu tendo um papel de coadjuvante, onde a física era a grande protagonista. Foi da necessidade de estudar a dinâmica dos corpos que Newton teve de reinventar a matemática de então, pois esta, oriunda da matemática dos gregos, só conseguia explicar aquilo que era estático. Durante a grande peste de 1665, Newton, aos 22 anos, voltou para a fazenda de sua família onde viveu por dois anos. Nesse período descobriu a lei da gravidade, inventou o cálculo e desenvolveu seu estudo sobre as cores. Dentre as suas contribuições para a matemática podemos citar, além do cálculo, o teorema binomial e seu estudo sobre séries infinitas. Mais tarde, Newton desenvolveu uma disputa com Leibniz a respeito da autoria do descobrimento do cálculo.


Leibniz (1646 - 1716): uma nova notação para o cálculo


Imagem: http://www.glogster.com/
janeisha/leibniz-s-life-accomplishments/
g-6lmgapcrfu7q8kb3t5d0qa0
Matemático, filósofo e diplomata alemão de grande renome, Leibniz viajava pela Europa a trabalho e fazia muitas anotações por onde passava. Acredita-se que foi esse contato de Leibniz com diferentes estudos por toda a Europa que o levou a desenvolver o cálculo na mesma época de Newton. O fato é que as anotações de Leibniz eram bastante organizadas e claras, ao passo que as de Newton eram mais bagunçadas. Isso tornou o trabalho de Leibniz bastante popular entre os acadêmicos. Foi ele o responsável por desenvolver uma nova simbologia para o cálculo: o famoso símbolo da integral que usamos hoje, por exemplo, foi invenção de Leibniz.


Os Bernoullis: colocando a nova matemática em prática 


Imagem: http://biografia.ahistoria.com.br/familia-bernoulli/
Quando se fala no nome Bernoulli, não nos referimos apenas a um matemático, mas a uma família inteira com habilidades para os números, que vivia na Basileia (Suíça). Os primeiros que se destacaram na matemática foram os irmãos Jacob (1654 - 1705) e Johan (1667 - 1748). Vários foram os trabalhos desses matemáticos, incluindo seus estudos sobre probabilidades e parábolas semi-cúbicas, lemniscatas e catenárias. Foi o filho de Johan, Daniel Bernoulli, o responsável por formular o Teorema de Bernoulli, importante equação utilizada em mecânica dos fluidos.


Leonhard Euler (1707 - 1783): simbologia para os números irracionais


Imagem: http://motls.blogspot.com.br/
2012/07/euler-characteristic.html
Famoso matemático suíço que viveu em São Petersburgo (Rússia) durante parte de sua vida. É considerado o escritor matemático mais produtivo de todos os tempos. Entre seus trabalhos mais brilhantes, Euler demonstrou a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método da tangente de Newton. Além disso, desenvolveu um método de resolução de equações diferenciais com a utilização do fator integrante e foi também o responsável por introduzir importantes notações matemáticas que usamos até hoje: o símbolo f(x) para uma função, a base do logaritmo natural (e), a raiz quadrada de -1 (i), o símbolo da somatória () e a notação para derivadas de ordens elevadas (dny). Foi ele também o responsável por descobrir a relação entre o número de vértices, faces e arestas de poliedros (V + F - A = 2).


Carl Gauss (1777 - 1855): do teorema fundamental da álgebra à curva de sinos

Imagem: http://www.t-bag.org/
Tableaux/tableaux.html
Matemático alemão de grande renome. Foi o responsável por formular o Teorema Fundamental da Álgebra, demonstrando que toda equação polinomial f(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real ou imaginária. Deve-se ainda a Gauss a representação gráfica de números complexos, pensando na parte real e imaginária como coordenadas num plano. Foi ele também quem inventou, aos 18 anos, o método dos quadrados mínimos para ajuste de curvas. Na área da estatística, Gauss definiu a lei de distribuição normal de erros criando a famosa curva em formato de sino, a qual é usada até hoje.


Apenas para concluir, confira abaixo uma lista com outros nomes de matemáticos importantes, os quais não poderiam deixar de ser mencionados:

  • Fermat (1601- 1665);
  • Poisson (1781 - 1840);
  • Laplace (1749 - 1827);
  • Fourier (1768 - 1830);
  • Cauchy (1789 - 1857);
  • Lagrange (1746 - 1813);
  • Riemann (1826 - 1866).

A matemática, tal como a conhecemos hoje, sofreu importantes transformações ao longo de toda a evolução humana. Desde os tempos das sociedades mesopotâmicas até hoje, a matemática segue em constante desenvolvimento. Os que pensam que a matemática hoje em dia está completa e finalizada estão muito enganados... Em 1900, durante um congresso em Paris, um importante matemático chamado Hilbert propôs uma lista com 23 problemas da matemática (os famosos problemas de Hilbert) que deveriam ser solucionados até o final do século XX. Desses, apenas 14 foram resolvidos completamente. Alguns foram solucionados, mas parcialmente... Ainda existem muitos problemas abertos e, talvez, seja isso o que torna essa disciplina tão desafiadora ainda nos dias atuais.


Referências




domingo, 23 de agosto de 2015

Linha do tempo da matemática - Parte II (O mundo árabe e os números)

A contribuição dos árabes para a nossa matemática é fato inegável. Durante a Idade Média, a ciência na Europa entrou num processo estacionário. Os últimos que demonstraram ter uma certa admiração pela matemática, estudando-a na geometria e desenvolvendo teoremas e axiomas, foram os gregos. Embora os romanos a usassem posteriormente, esta era tratada apenas como mera ferramenta prática.

Casa da Sabedoria, em Bagdá.
Imagem: https://bibliotecaucs.wordpress.com/2013/07/10/
bibliotecas-que-mudaram-o-mundo-casa-da-sabedoria-em-bagda/

Foi durante o desenvolvimento do Império Árabe e de sua expansão desde a Índia ao Marrocos e Península Ibérica, durante os séculos VII e VIII, que conhecimentos matemáticos foram trazidos do Oriente. Existia em Bagdá, no Iraque, uma importante biblioteca e centro de traduções conhecida como Casa da Sabedoria. Os estudos feitos nesta Casa eram desenvolvidos e baseados em conhecimento de outros povos, como os gregos, indianos e persas. Foram os árabes que levaram para a Europa importantes nomes das Ciência Antiga, como Aristóteles e Pitágoras.

Entre os matemáticos árabes mais importantes não se pode deixar de citar Al-Khwarizmi. Seu nome deu origem ao termo "algarismo" que conhecemos hoje. Al-Khwarizmi foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar na Casa de Sabedoria e desenvolveu estudos importantes sobre o sistema de numeração hindu e álgebra. Conta-se que Al-Khwarizmi, percebendo a simplicidade dos números indianos para os cálculos, propôs que estes passassem a ser adotados pelos árabes a fim de tornar mais rápidas as operações matemáticas. Sua sugestão foi aceita de boa vontade por grande parte dos outros estudiosos.

Al-Khwarizmi.
Imagem: http://www.yesiknowthat.com/muhammad
-ibn-musa-al-khwarizmi/

Al-Khwarizmi também escreveu um tratado sobre álgebra denominado Hisab al-jabr w'al-muqabala, que significa Cálculo por restauração e redução. O termo al-jabr deu origem à palavra álgebra que vemos hoje nos livros.

Quando a Europa passou a fazer contato com o povo árabe, por meio do comércio através de cidades mediterrâneas da Itália, o conhecimento islâmico sobre os números foi, aos poucos, sendo difundido para o interior do continente. Em 1202, o matemático italiano Fibonacci, nascido em Pisa, escreveu um livro chamado Liber Abaci (Livro do Cálculo) no qual expunha o funcionamento da numeração árabe e o zero. Tal livro também destacava o problema da reprodução de casais de coelho. Os números encontrados nesse problema, mais tarde, viriam a compor o que se conhece hoje como sequência de Fibonacci.

Fibonacci.
Imagem: http://www.gil.com.br/#!Grandes-nomes-da-ciência-Fibonacci-
e-a-proporção-áurea/cxpx/550ac02a0cf292acc4b4eff5

Referências 

sexta-feira, 14 de agosto de 2015

Linha do tempo da matemática - Parte I (A contribuição da Índia e a criação do zero)

Como surgiram os sistemas de numeração? De onde vieram os algarismos que usamos hoje? Como surgiu a álgebra? Quem inventou o símbolo da integral? Estas e outras respostas estão respondidas em três postagens. Cada uma delas contempla um determinado período da história e as contribuições de diversos povos para o desenvolvimento da ciência dos números. Boa leitura!

Acredita-se que os números tiveram início com a necessidade do homem em contar seus bens: como a quantidade de ovelhas num rebanho.

Desde os tempos da Babilônia se tem registro de sistemas de numeração e várias foram as civilizações que desenvolveram sistemas próprios de contagem, a exemplo dos egípcios e romanos. 

Sistema de numeração babilônico.
Imagem: https://www.easycalculation.com/funny/numerals/babylonian.php

Contudo, foram os hindus os grandes responsáveis pela criação de um sistema numérico que deu origem aos números que usamos hoje; sendo também os responsáveis pela introdução de um conceito bastante útil na matemática: o conjunto vazio. Os indianos foram os que apresentaram o número zero (0) ao mundo. 

Antes dos indianos, egípcios e mesopotâmicos usaram algo parecido com o zero, mas que simplesmente funcionava para marcar um lugar onde não havia nenhum número. O "zero" era apenas um marcador, não possuindo nenhuma utilidade nos cálculos.

Sistema de numeração hindu.
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=23508

O conceito do nada e do vazio é próprio da cultura indiana e acredita-se que o número zero esteja ligado a uma forma de satisfazer essa crença imersa no mundo hindu de que o mundo surgiu do nada e está caminhando para o próprio nada. O matemático indiano Brahmagupta, no século VII, é conhecido por ter definido as chamadas regras do zero:

1 + 0 = 1 (um número somado a zero não se altera)
1 - 0 = 1 (zero subtraído de um número não o altera)
1 x 0 = 0 (um número multiplicado por zero torna-se zero)

Brahmagupta.
http://www.storyofmathematics.com/indian_brahmagupta.html

Brahmagupta, entretanto, não conseguiu pensar numa solução para um número dividido por zero. Foi o matemático Bhaskara II, no século XII, quem encontrou a resposta para tal excentricidade, por meio da análise de sucessivas divisões por números fracionários cada vez menores: se dividirmos um fruto pela metade (1/2) teremos dois pedaços... dividido em três partes (1/3) teremos três pedaços... dividido em 100 partes (1/100), 100 pedaços... Portanto, se pegarmos esse fruto e dividirmos em partes tão pequenas (próximas de zero) daria infinitos pedaços!

1/(1/2) = 2
1/(1/3) = 3
.
.
.
1/(1/100000000000) = 100000000000

Não é de se admirar que os números que conhecemos hoje tenham sido baseados no sistema hindu. Graças à sua praticidade, nossos atuais números, "descendentes" desse antigo sistema, estão presentes em praticamente todos os cantos do planeta. Parece uma coisa tão simples, mas, se formos parar para pensar, vemos que se trata de uma invenção com séculos e séculos de história.

Outra contribuição dos indianos para a matemática foi a descoberta dos métodos de resolução de equações do 2º grau. Ainda no século XII, um outro indiano chamado Bhaskara Akaria determinou um método puramente algébrico para resolver qualquer equação do 2º grau. A ideia principal do método de Bhaskara era isolar em um dos membros da equação um trinômio quadrado perfeito, facilitando com isso a resolução do problema:


ax² + bx + c = 0 => (dx + e)² = f

Se ax² + bx + c = 0 não fosse um trinômio quadrado perfeito, 
deveria-se transformá-lo num trinômio quadrado perfeito 
somando um número conveniente aos dois membros da equação.

Os problemas envolvendo equações quadráticas eram bastante populares nos antigos livros hindus. O problema abaixo, por exemplo, foi extraído de um livro de Matemática da Índia Antiga: 

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Imagem: https://www.achetudoeregiao.
com.br/animais/macaco_prego.htm


"O quadrado da oitava parte  de um bando de macacos saltitava num bosque, enquanto os doze restantes tagarelavam no alto de um outeiro. Quantos macacos constituíam o bando?" 

Sugiro que tente resolver o problema por meio da ideia de Bhaskara... 




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Se quiser saber mais sobre a contribuição do Oriente para a matemática, deixo como sugestão o interessante documentário da BBC (A História da Matemática). Uma magnífica série, que conta como a matemática que conhecemos hoje foi moldada durante os séculos.


segunda-feira, 10 de agosto de 2015

Fique por dentro: a diferença entre aritmética, álgebra e geometria



Conceitos e etimologia de algumas palavras

Antes de começar a relatar a história da matemática é importante citar a diferença entre aritmética, álgebra e geometria, buscando saber a etimologia destas palavras:

- Aritmética: lida com os números em sua forma pura e estuda as operações matemáticas (soma, subtração, divisão, multiplicação, potenciação, radiciação, etc.). A palavra vem do grego "arithmós", que quer dizer "número".

- Álgebra: lida com letras, símbolos e números, tratando das equações, polinômios e estruturas algébricas. Pode ainda se dividir em diversos grupos, dentre os quais podemos destacar: a álgebra elementar (comum do ensino fundamental e médio) e a álgebra linear (comum no ensino superior). Esta última surgiu do estudo das equações lineares, incluindo as equações diferenciais. A palavra "álgebra" vem do árabe "Al-jabr", que quer dizer "reunião de partes quebradas".

- Geometria: é o ramo da matemática que trata do estudo das figuras e do espaço. Entre as diversas subdivisões destacam-se a geometria euclidiana e a geometria analítica. Enquanto a primeira trata da geometria clássica em duas e três dimensões, a segunda descreve formas geométricas por meio de coordenadas no espaço. A palavra "geometria" veio da junção de duas palavras em grego: "geo", que significa terra, e "metria", que significa "medida".

Fontes consultadas: