Modelagem paramétrica em projetos: matemática e arquitetura de mãos dadas

A modelagem paramétrica, caracterizada por fazer uso de variáveis ou parâmetros para concepção da geometria de elementos construtivos, pode ser um termo novo para alguns, mas os projetos baseados nessa forma inovadora de criação de desenhos têm se mostrado cada vez mais usuais.

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O interesse da modelagem paramétrica é criar formas geométricas por meio de recursos computacionais e, após a etapa de planejamento, construí-las fisicamente, por meio de modelos espaciais derivados dos desenhos parametrizados. Essa nova forma de modelagem permite a reprodução gráfica de superfícies contínuas de acordo com os dados inseridos nos algoritmos.

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Ao invés de se construir uma superfície ou volume por meio do traçado imaginativo do arquiteto, a modelagem paramétrica possibilita a criação de diferentes formas geométricas por meio de iterações e cálculos computacionais, criando desenhos que obedecem às leis matemáticas. Diante disso, o controle sobre a construção geométrica por parte do projetista poderá ser feito através do monitoramento das variáveis dentro de suas respectivas funções. 

Centro de Heydar Aliyev, Azerbaijão.
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Em meio às plataformas vetoriais como o AutoCAD e, mais atualmente, o próprio BIM, o arquiteto acaba por se ver refém das limitações de cada programa. Com a modelagem paramétrica torna-se possível superar essas restrições, tendo em vista que o projeto passa a se comportar como um “organismo vivo”, capaz de se adequar às diversas mudanças que surgem ao longo da fase de planejamento. Se o projeto estrutural, por exemplo, exigir o aumento da largura de uma viga, é possível adequar toda a geometria da construção através de uma simples alteração de parâmetros.

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Os cálculos e geração dos gráficos parametrizados, em grande parte dos casos, serão de grande complexidade, sendo necessário o uso de ferramentas computacionais. Alguns programas e plugins, como o Rhinoceros e o Grasshopper, podem ser utilizados para criação, investigação e análise das superfícies e objetos.

Para saber mais sobre plugins paramétricos: clique aqui.

A princípio, pode nos parecer que a parametrização seja uma oposição à racionalização de projetos dentro da indústria da construção. Há de se destacar, contudo, que a arquitetura paramétrica é na verdade uma evolução do pensamento racionalizado, sendo capaz de atender de forma satisfatória os quesitos de sustentabilidade, conforto térmico e personalização de ambientes. Essa nova forma de se projetar é ainda uma excelente forma de estimular a criatividade, além de colaborar para o desenvolvimento do pensamento lógico, abstrato e associativo.

Fontes:

http://www.revistas.usp.br/gestaodeprojetos/article/viewFile/51010/55077

http://2030studio.com/algoritmos/

http://www.au.pini.com.br/arquitetura-urbanismo/252/com-arquitetura-parametrica-subdv-mistura-tecnologia-de-projetacao-com-assentamento-339066-1.aspx

A série de Fourier na investigação de fenômenos periódicos

Uma função periódica é aquela que se repete após um período T, de forma que f(x+T) = f(x). Muitas vezes somos obrigados a lidar com funções deste tipo bastante complicadas. Uma alternativa é expressar tais funções por meio de uma série infinita de senos e/ou cossenos. Tais séries são denominadas séries de Fourier, uma homenagem a Joseph Fourier, o primeiro a utilizá-las sistematicamente em seus estudos de condução de calor.

A série de Fourier pode ser considerada uma das mais belas séries. Assim como as séries de Taylor, ela fornece um método de se expressar funções bastante complicadas por meio de funções elementares, com as quais estamos familiarizados.

Não vamos nos atentar a deduções de fórmulas, mas partindo-se do princípio de ortogonalidade das funções seno e cosseno, pode-se mostrar que:

Encontrar uma série de Fourier é basicamente obter os coeficientes a0, am e bm; e substituí-los, em seguida, dentro da fórmula. Os valores de tais coeficientes podem ser calculados por meio das relações:

onde o período fundamental T = 2L.

Mas, graficamente, o que representa uma série de Fourier?

Uma série de Fourier é aquela que se aproxima do gráfico de uma função periódica à medida que o valor de m cresce. Quando fazemos m variar até infinito, a curva da série de Fourier se acomoda perfeitamente sobre a curva da função periódica.

O gráfico abaixo, por exemplo, criado por meio de uma planilha no Excel, mostra uma série de Fourier representante de uma onda quadrada com L = 1 e m variando de 1 até 8, com o "passo" de x igual a 0,025:

Podemos perceber que nos pontos onde há descontinuidades a série de Fourier se afasta um pouco mais da função periódica. Esse fenômeno é conhecido como fenômeno de Gibbs.

Tais séries têm uma aplicação muito ampla na ciência e engenharia, pois são ferramentas valiosas na investigação de fenômenos periódicos. Uma onda sonora é um ótimo exemplo de fenômeno desse tipo. Para esse exemplo específico, cada termo da soma de Fourier irá representar um tom audível e o módulo do coeficiente a amplitude de cada componente. Esse estudo das frequências que compõem um som complexo é conhecido como análise espectral.

Fontes:

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8. ed. LTC Editora. 434 p.

MAZORCHE, S. Séries e Integrais de Fourier. Disponível em: <http://www.ufjf.br/sandro_mazorche/files/2012/11/Equa%C3%A7%C3%B5es-Diferenciais-II-Series-de-fourier.pdf>. Acesso em: 24 jun. 2016.

Integração numérica da curva de uma distribuição normal padrão: estatística aliada a métodos numéricos

Alguns eventos aleatórios, quando em um conjunto suficientemente grande, apresentam determinados padrões que permitem prever certas probabilidades. Quando a quantidade de eventos aumenta em torno da média e diminui quando se afasta da mesma, seguindo um padrão simétrico, temos uma distribuição normal, geralmente representada por uma curva em formato de sino. Diversos eventos aleatórios seguem a distribuição normal: a estatura das pessoas, a pressão arterial, a resistência do concreto, etc.

Sendo a distribuição normal uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) contínua, a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor dentro de um intervalo [a,b] será a área ou integral de f(x) de a até b.

Para determinarmos essa probabilidade, o mais usual é recorremos a tabelas padronizadas. Essas tabelas são montadas com base numa distribuição normal padrão, onde a média é nula e a variância é tomada como sendo 1. Essa distribuição normal pode ser expressa pela fórmula:

A distribuição normal padrão com base nessa função pode ser visualizada no gráfico a seguir:

A variável aleatória normal padrão é denotada por Z e a probabilidade de que Z seja menor que um z calculado será P(Z≤z) e corresponderá à integral da função acima de -∞ até z. Infelizmente não há uma expressão exata para o cálculo da integral de uma f.d.p. normal. O que nos resta é obtermos valores aproximados por meio de uma integração numérica. A ideia foi utilizar aqui uma integração por meio da regra dos 3/8 de Simpson composta. 

Primeiramente foi adotado um valor para z=-1,2 (valor arbitrário apenas para teste). A integração da f.d.p. normal padrão pela regra dos 3/8 de Simpson, com passo de integração h=0,05, permitiu encontrar um valor bastante próximo àquele encontrado em tabela: P(Z≤-1,2)=0,1151. A diferença entre os valores foi de apenas 0,0001. A integral corresponde à área sob a curva do gráfico apresentado abaixo:

É claro que para montagem da tabela completa seria necessária a integração para cada valor de z (adotando esse valor como limite superior da integral). Nesse caso, maiores valores de z exigiriam números de subintervalos cada vez maiores para manter uma aproximação adequada.

Referências:

CAMPOS, F. F. Algoritmos Numéricos. 2ª Ed. Editora: LTC, 2007.

MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5ª Ed. Editora: LTC, 2012.

http://educacao.uol.com.br/matematica/distribuicao-normal.jhtm

7 passos para o cálculo de regressão linear simples no Excel 2010

Correlação e Regressão Linear no Excel 2010

Cálculo Estatístico de Uma Variável

Vamos usar um exemplo numérico para estabelecer a relação entre duas variáveis. Suponha que se queira determinar a relação entre o peso e a altura das pessoas.

Coeficientes de Inclinação e Intersecção

1.    Com a tabela e os dados já inseridos no Excel (ver figura 1), primeiramente vamos calcular os coeficientes de inclinação a e intersecção b ( Y = aX + b).

Figura 1

2.    Para calcular o valor de b, inserimos em uma célula vazia a função intercepção. Basta digitar: =INTERCEPÇÃO. Depois disso selecionam-se os valores da coluna de Y (peso), digita-se ponto-e-vírgula e seleciona-se, em seguida, a coluna com os valores de X (altura). Digite Enter e terá como resposta o valor do coeficiente de intercepção b.

3.    Para calcular o valor de a, o procedimento é análogo. A função utilizada para calcular o coeficiente de inclinação é a função inclinação. Basta digitar, em uma célula vazia, =INCLINAÇÃO e inserir, em seguida, os dados necessários.

Coeficiente de Correlação de Pearson

4.    Para calcular o coeficiente de correlação de Pearson insira em uma célula vazia a função correl. Insira =CORREL e complete com os dados necessários.

OBS.: Sabe-se de antemão que se o coeficiente de correlação retornar o valor zero (0) pode-se afirmar que não existe correlação entre os conjuntos de dados observados.

Gráfico de Dispersão

5.    Para criar o gráfico de dispersão, calcule para cada valor de X, o novo valor de Y definido pela equação da reta encontrada (Y = aX + b). Sendo assim, estabeleça os cálculos necessários dentro da célula que irá calcular o valor de Y com base em um dos valores de X. Copie a função para as outras células e calcule para os diferentes valores de x.

OBS.: Em caso de se copiar a função de X, selecione a parte da função que permanecerá constante em cada um dos cálculos e aperte F4 (irá aparecer o sinal $ indicando que o termo da função permanecerá constante em todos os cálculos (ver figura2)).

Figura 2 - Observe o sinal $ que acompanha as células H5 e H4 na figura. Estas células correspondem aos valores dos coeficientes angular e linear da reta de regressão.

6.    Criando o Gráfico: Selecione as colunas que pertencerão ao gráfico. Em seguida, siga o seguinte passo: barra de ferramentas à inserir à gráfico à dispersão (ver figura 3).

Figura 3

7.    Escolha uma das opções de gráficos de dispersão. Você verá que o gráfico conterá a reta de regressão e os valores dispersos (ver figura 4).

Figura 4