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segunda-feira, 17 de fevereiro de 2020

Como calcular arranjo e combinação simples em uma calculadora Casio


Ao lidar com problemas de Análise Combinatória, podemos nos deparar com cálculos extremamente trabalhosos ou cansativos. Diante disso, o uso de uma calculadora científica pode facilitar em muito as nossas vidas e, portanto, convém que saibamos explorar todos os recursos que estão ao alcance de nossas mãos.

A seguir, irei explicar como é feito o cálculo do número de arranjos simples e combinações simples através de uma calculadora bastante popular entre os estudantes de Exatas: nossa amada Casio, modelo fx-82 MS (foto abaixo).

Calculadora Casio (Modelo fx-82MS).
Imagem do autor.

Bom, vamos agora para a parte que nos interessa:

ARRANJO SIMPLES

Dica: lembre-se que, num arranjo, a ordem importa!

O cálculo do número de arranjos simples é algo extremamente fácil:

Vamos supor o cálculo do seguinte arranjo: A50,3, isto é, um arranjo de 50 elementos, tomados 3 a 3.

Nesse caso:

1) Digita-se o total de elementos do arranjo: 50;
2) Aperta-se Shift e, em seguida, o botão nCr;
3) Digita-se o número de elementos do "agrupamento": 3;
4) Por último, aperta-se o botão de igual (=).

Para o exemplo acima, confira que o resultado será 117600.

COMBINAÇÃO SIMPLES

Dica: lembre-se que, numa combinação simples, a ordem NÃO importa!

O cálculo do número de combinações simples é também muito tranquilo:

Vamos supor o seguinte cálculo: C60,2, ou seja, combinação simples de 60 elementos tomados 2 a 2.

Nesse caso:

1) Digita-se o total de elementos da combinação: 60;
2) Aperta-se o botão nCr;
3) Digita-se o número de elementos do "agrupamento": 2;
4) Por último, aperta-se o botão de igual (=).

Para o exemplo acima, confira que o resultado será 1770.

Simples, rápido e prático, não é mesmo? Caso tenha gostado, não deixe de conferir outras postagens interessantes aqui no blog! 👨‍🔬

📢 Gostou deste artigo? Deixe suas sugestões nos comentários sobre possíveis temas que você gostaria de saber um pouco mais!

Fonte: Guia do Usuário - Calculadora Casio (Modelo fx-82 MS).

domingo, 8 de janeiro de 2017

Calculando média e desvio-padrão em uma calculadora Casio


Além de estarmos susceptíveis a cometer uma série de erros, calcular média e desvio-padrão de um conjunto de dados pode ser uma tarefa cansativa e entediante.

Hoje as modernas calculadoras científicas facilitam nossas vidas de uma maneira espetacular. Basta inserir os dados e depois pressionar poucos botões para se chegar ao resultado esperado num piscar de olhos.

Como forma de ilustrar essa praticidade, resolvi escrever um passo-a-passo simples mostrando como se calcula a média e o desvio-padrão através de uma calculadora Casio, modelo fx-82 MS (foto abaixo).

Calculadora Casio (Modelo fx-82 MS).
Imagem do autor.

Geralmente os próprios manuais das calculadoras ensinam como se fazer uma variedade de cálculos, incluindo cálculos estatísticos. Quando estiver na dúvida, não deixe de dar uma olhada no Guia do Usuário de sua máquina.

Média e desvio-padrão em uma calculadora Casio fx-82 MS:

1) Ligue sua calculadora, aperte Mode e escolha a opção 2 (SD);
2) Agora digite o primeiro dado e aperte M+ (para registrar na memória);
3) Insira o próximo número e aperte M+, siga fazendo isso para cada dado a ser inserido;
4) Após registrar todos os dados na memória de sua calculadora, aperte Shift e o número 2 (S-VAR);
5) Escolha a opção 1 para média, 2 para desvio-padrão populacional e 3 para desvio-padrão amostral;
6) Aperte o botão de igual (=) e confira o resultado;
7) Se necessário, retorne ao passo 4, escolha outra opção e aperte novamente o botão de igual (=) para ver o resultado relativo à opção escolhida.

Simples, prático e rápido, não é mesmo? 👾

Fonte: Guia do Usuário - Calculadora Casio (Modelo fx-82 MS).

sexta-feira, 11 de novembro de 2016

Margem de erro em pesquisas: as estatísticas podem realmente falhar?

Imagem: http://www.thecollegianur.com/

Intervalos de confiança

Quando colhemos uma amostra da população, nem sempre os dados daquela amostra irão retornar valores confiáveis sobre o todo. Dentro desse contexto de incerteza que paira sobre os dados,  os estatísticos usam uma ferramenta conhecida como intervalo de confiança para garantir a utilização segura dos resultados obtidos da amostra. Mas o que seria isso?

Um intervalo de confiança de 95%, por exemplo, nos informa o seguinte: se um grande número de amostras for coletado e um intervalo com esse nível de confiança for calculado para cada amostra, 95% deles conterão o verdadeiro parâmetro populacional que estamos interessados em conhecer.

Em pesquisas eleitorais, por exemplo, estamos interessados na proporção de pessoas que votariam em determinado candidato. A pesquisa de intenção de votos é o que pode ser chamada pelos estatísticos de "inferência sobre a proporção de uma população". Geralmente, com base na proporção dos entrevistados nas pesquisas, são construídos intervalos de confiança. 

A margem de erro

A margem de erro está associada ao comprimento do intervalo de confiança. Ao se construir um intervalo, chamamos de amplitude a diferença entre os limites desse intervalo. No caso da pesquisa de intenção de votos, a margem de erro corresponde à metade da amplitude e nos mostra o quanto a porcentagem encontrada na pesquisa pode variar para mais ou para menos. Em outras palavras, nos fala o quanto a pesquisa pode errar (um erro que é aceitável, digamos).

O cálculo do erro para um intervalo de confiança de 95% (o padrão em pesquisas eleitorais) pode ser feito com base na seguinte fórmula: 


onde p é a proporção que se deseja analisar o erro, encontrada na amostra de tamanho n.

O exemplo das eleições americanas

Nas polêmicas eleições americanas que aconteceram recentemente, numa pesquisa realizada pelo New York Times/CBS com prováveis eleitores, considerando os quatro principais candidatos, Hillary e Trump ficaram empatados com 42% dos votos. A pesquisa ouviu por telefone 1433 eleitores em todo o país.

Repare que, pela fórmula acima, em ambos os casos, a margem de erro (o quanto os limites do intervalo se afastam da proporção de observações na amostra) é a mesma: aproximadamente 3 pontos percentuais para mais ou para menos.

Os intervalos de confiança de 95% para a proporção de eleitores com intenção de voto em Hillary e em Trump são os mesmos:

[42% - 3% ; 42% + 3%] = [39% ; 45%]

Como o intervalo é de 95% de confiança, se a pesquisa fosse realizada um grande número de vezes nos mesmos padrões, 95% delas exibiriam intervalos que conteriam a verdadeira proporção de votos nas eleições. 

Agora na prática, quando obtemos uma amostra e calculamos um intervalo de confiança, esse poderá conter ou não a verdadeira proporção de votos do candidato. Não sabemos se a informação é verdadeira para a amostra específica, mas o método utilizado para montar o intervalo resulta em afirmações corretas, no caso, 95% das vezes.

Como você já deve saber, o sistema eleitoral americano funciona de forma diferente do nosso e, apesar de Hillary ter perdido as eleições, ela segue com a maioria do número de votos populares, com 47,7%. Donald Trump aparece um pouco atrás, com 47,4%. Conforme podemos ver, ambas as porcentagens estão fora do intervalo exibido acima.

Ao que tudo indica, uma parcela dos indecisos, que não tinham sequer intenção de voto, acabou mudando todo o cenário das eleições. Respondendo a pergunta feita no título deste artigo: as estatísticas em si não falharam, uma vez que não há 100% de garantia de que o verdadeiro parâmetro populacional cairá dentro do intervalo. Talvez as pesquisas tenham se equivocado ao desconsiderar os possíveis eleitores indecisos ou aqueles que não tinham intenção de voto.

Fontes:

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.


domingo, 22 de maio de 2016

Integração numérica da curva de uma distribuição normal padrão: estatística aliada a métodos numéricos


Alguns eventos aleatórios, quando em um conjunto suficientemente grande, apresentam determinados padrões que permitem prever certas probabilidades. Quando a quantidade de eventos aumenta em torno da média e diminui quando se afasta da mesma, seguindo um padrão simétrico, temos uma distribuição normal, geralmente representada por uma curva em formato de sino. Diversos eventos aleatórios seguem a distribuição normal: a estatura das pessoas, a pressão arterial, a resistência do concreto, etc.

Sendo a distribuição normal uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) contínua, a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor dentro de um intervalo [a,b] será a área ou integral de f(x) de a até b.

Para determinarmos essa probabilidade, o mais usual é recorremos a tabelas padronizadas. Essas tabelas são montadas com base numa distribuição normal padrão, onde a média é nula e a variância é tomada como sendo 1. Essa distribuição normal pode ser expressa pela fórmula:
A distribuição normal padrão com base nessa função pode ser visualizada no gráfico a seguir:


A variável aleatória normal padrão é denotada por Z e a probabilidade de que Z seja menor que um z calculado será P(Z≤z) e corresponderá à integral da função acima de -∞ até z. Infelizmente não há uma expressão exata para o cálculo da integral de uma f.d.p. normal. O que nos resta é obtermos valores aproximados por meio de uma integração numérica. A ideia foi utilizar aqui uma integração por meio da regra dos 3/8 de Simpson composta. 

Primeiramente foi adotado um valor para z=-1,2 (valor arbitrário apenas para teste). A integração da f.d.p. normal padrão pela regra dos 3/8 de Simpson, com passo de integração h=0,05, permitiu encontrar um valor bastante próximo àquele encontrado em tabela: P(Z≤-1,2)=0,1151. A diferença entre os valores foi de apenas 0,0001. A integral corresponde à área sob a curva do gráfico apresentado abaixo:


É claro que para montagem da tabela completa seria necessária a integração para cada valor de z (adotando esse valor como limite superior da integral). Nesse caso, maiores valores de z exigiriam números de subintervalos cada vez maiores para manter uma aproximação adequada.

Referências:

CAMPOS, F. F. Algoritmos Numéricos. 2ª Ed. Editora: LTC, 2007.
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5ª Ed. Editora: LTC, 2012.

domingo, 15 de maio de 2016

Matemática da loteria: aprenda a calcular a chance de você ganhar na Mega Sena


Ganhar na loteria é o sonho de muitos, mas não é pra qualquer um... Embora a matemática nos ofereça métodos seguros para calcular a probabilidade de acerto, o que parece contar de fato é a sorte, mesmo que isso pareça ir contra toda nossa lógica.

O cálculo para estabelecermos a probabilidade de ganhar na mega fazendo uma aposta de seis dezenas é bastante simples. Primeiramente devemos estabelecer as possíveis combinações que poderão sair no dia do sorteio: sendo 60 a quantidade total de números na cartela, devemos tomá-los seis a seis. 



Como todos sabem, os números na mega sena não se repetem e a ordem com que são apresentados não importa. Na Mega da Virada de 2015, por exemplo, você poderia ganhar jogando 02-18-31-42-51-56 ou 56-51-42-31-18-02, pois a ordem dos números aqui não nos interessa. Por essa razão devemos desconsiderar os agrupamentos que se diferem apenas pela ordem dos elementos. Para fazer isso basta dividir o arranjo por uma permutação dos seis números: Pn= 6!

Assim sendo, a quantidade de possíveis combinações de números que podemos fazer na mega sena é: 

(60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55)/6! = 50.063.860

A essa altura você já deve ter percebido que se trata de uma combinação simples. Por isso a fórmula matemática para combinação nos leva ao mesmo resultado:

C60,6 = 60!/[6!(60-6)!] = 50.063.860

A probabilidade de acertar num sorteio da sena, portanto, é de 1 em 50.063.860. 

Quando resolvemos apostar com 15 números na cartela fazemos combinações de seis números com esses 15 números escolhidos, isto é:

C15,6 = 15!/[6!(15-6)!] = 5005

Isso significa que, ao jogarmos com 15 números, aumentamos 5005 vezes a nossa chance de acerto. Se a aposta mínima custa R$ 3,50, uma aposta com 15 dezenas custará 5005 vezes mais, isto é: R$ 17.517,50. Mas tanto faz você fazer 5005 apostas mínimas ou jogar com 15 dezenas: para a matemática a probabilidade é a mesma.

A chance de ganhar a quina na mega sena é calculada considerando os seis números sorteados tomados de 5 em 5, isto é, C6,5 = 6. O último número que forma o conjunto de seis dezenas jogadas por você poderá ser qualquer um, desde que seja diferente daqueles que saíram no sorteio. Portanto você deve multiplicar a combinação por 54. Sendo 6 x 54 = 324, a chance de você ganhar na quina é 324 vezes maior do que a de ganhar na sena.

Segundo o Mundo Bizarro (link aqui), a probabilidade de morrer atingido por um raio é de 1 em 2.320.000. A probabilidade da Terra colidir com um asteroide nos próximos 100 anos é de 1 em 5 mil... e a de ser atingido por uma peça de avião caindo é de 1 em 10 milhões... Perceba que é mais fácil você "abotoar o paletó" por eventos catastróficos do que ganhar na mega sena... 

Talvez isso o desmotive a sonhar com aquelas férias no Caribe, mas se a sorte resolver bater na sua porta, quem sabe o sonho não se torne realidade? Faça sua aposta e cruze os dedos!

Fonte: 

http://vestibular.uol.com.br/revisao-de-disciplinas/matematica/faca-calculos-para-acertar-a-megasena.jhtm

domingo, 21 de dezembro de 2014

7 passos para o cálculo de regressão linear simples no Excel 2010


Correlação e Regressão Linear no Excel 2010


Cálculo Estatístico de Uma Variável

Vamos usar um exemplo numérico para estabelecer a relação entre duas variáveis. Suponha que se queira determinar a relação entre o peso e a altura das pessoas.

Coeficientes de Inclinação e Intersecção

1.    Com a tabela e os dados já inseridos no Excel (ver figura 1), primeiramente vamos calcular os coeficientes de inclinação a e intersecção b ( Y = aX + b).


Figura 1

2.    Para calcular o valor de b, inserimos em uma célula vazia a função intercepção. Basta digitar: =INTERCEPÇÃO. Depois disso selecionam-se os valores da coluna de Y (peso), digita-se ponto-e-vírgula e seleciona-se, em seguida, a coluna com os valores de X (altura). Digite Enter e terá como resposta o valor do coeficiente de intercepção b.

3.    Para calcular o valor de a, o procedimento é análogo. A função utilizada para calcular o coeficiente de inclinação é a função inclinação. Basta digitar, em uma célula vazia, =INCLINAÇÃO e inserir, em seguida, os dados necessários.

Coeficiente de Correlação de Pearson

4.    Para calcular o coeficiente de correlação de Pearson insira em uma célula vazia a função correl. Insira =CORREL e complete com os dados necessários.

OBS.: Sabe-se de antemão que se o coeficiente de correlação retornar o valor zero (0) pode-se afirmar que não existe correlação entre os conjuntos de dados observados.

Gráfico de Dispersão

5.    Para criar o gráfico de dispersão, calcule para cada valor de X, o novo valor de Y definido pela equação da reta encontrada (Y = aX + b). Sendo assim, estabeleça os cálculos necessários dentro da célula que irá calcular o valor de Y com base em um dos valores de X. Copie a função para as outras células e calcule para os diferentes valores de x.

OBS.: Em caso de se copiar a função de X, selecione a parte da função que permanecerá constante em cada um dos cálculos e aperte F4 (irá aparecer o sinal $ indicando que o termo da função permanecerá constante em todos os cálculos (ver figura2)).



Figura 2 - Observe o sinal $ que acompanha as células H5 e H4 na figura. Estas células correspondem aos valores dos coeficientes angular e linear da reta de regressão.

6.    Criando o Gráfico: Selecione as colunas que pertencerão ao gráfico. Em seguida, siga o seguinte passo: barra de ferramentas à inserir à gráfico à dispersão (ver figura 3).


Figura 3

7.    Escolha uma das opções de gráficos de dispersão. Você verá que o gráfico conterá a reta de regressão e os valores dispersos (ver figura 4).



Figura 4