O Pórtico.com: Da teoria do caos à geometria fractal: a beleza dos sistemas caóticos

terça-feira, 29 de novembro de 2016

Da teoria do caos à geometria fractal: a beleza dos sistemas caóticos

Em 1960, Edward Lorenz, um meteorologista do M.I.T., desenvolveu um programa de computador composto por 12 equações simples, numa tentativa de realizar previsões do tempo a longo prazo. Entretanto, o que Lorenz descobriu foi que pequenos erros em um par de variáveis produziam resultados catastróficos, com efeitos completamente desproporcionais. A descoberta de Lorenz foi batizada por ele de “efeito borboleta”, tirada do título de seu artigo publicado em 1979: “Previsibilidade: O bater de asas de uma borboleta no Brasil pode provocar um furacão no Texas?”.

Outro exemplo interessante surgiu na década de 70, quando o biólogo Robert May examinou um modelo simples que fornecia o crescimento de uma população. A equação funcionava de forma que cada resultado anterior ia alimentando a iteração seguinte. O interessante é que dependendo dos fatores utilizados tais resultados eram completamente diferentes do esperado.

Para estes mesmos resultados catastróficos observados, se os respectivos gráficos fossem desenhados, veríamos padrões ou um modelo de organização. Isso demonstra que mesmo os eventos que julgamos imprevisíveis podem possuir um comportamento organizado dentro da natureza. Há diversos exemplos de sistemas caóticos: fluidos em escoamento turbulento, condições atmosféricas, população de insetos, reações químicas, etc. Em tais sistemas, os processos recorrentes ou iterativos numa análise geométrica podem gerar objetos em que suas partes seguem o mesmo padrão do objeto original.

Imagem: http://www.fractalposter.com/

Uma ideia parecida pode ser estendida até mesmo para a geografia. Em seu artigo “Qual a extensão da Costa Britânica?”, Benoit Mandelbrot sugeriu que não importava o quanto você se aproximasse do litoral, o grau de imprecisão das medidas pareceria o mesmo. Foi necessário, por isso, ampliar a noção de dimensão dentro da matemática. Mandelbrot introduziu a ideia de dimensões fracionais para descrever a imprecisão que observou em determinados modelos. Em 1975, ele adotou o termo “fractal” (do latim fractus, fração, quebrado) para nomear essa nova geometria dimensional fracional e suas classes especiais de curvas definidas recursivamente.

Em termos visuais, um fractal pode produzir imagens belíssimas. Alguns dos exemplos clássicos são a Curva e a Estrela de Koch, o Triângulo e o Carpete de Sierpinski, o Conjunto de Mandelbrot e a Curva de Peano.

O vídeo abaixo mostra um zoom num fractal baseado no Conjunto de Mandelbrot. Fica fácil perceber como os padrões se repetem à medida que a imagem é ampliada. Trata-se de uma das proezas mais belas da matemática, sem sombra de dúvidas.