Operadores Diferenciais em Mecânica dos Fluidos

Às vezes pode ser necessário a utilização de operadores diferenciais em mecânica dos fluidos (disciplina que junto à condução de calor recebe o nome de Fenômenos dos Transportes). Esses operadores diferenciais costumam ser trabalhados em Cálculo e servem para simplificar as fórmulas, reduzindo o seu tamanho. Segue abaixo uma introdução aos quatro operadores. Bons estudos!

1.        BREVE CONCEITO SOBRE CAMPO VETORIAL

Os vetores podem representar campos de velocidade, como correntes oceânicas, velocidade do vento durante um tornado ou o fluxo de ar passando por um aerofólio.

Figura 1 – Campo de vetores velocidade mostrando

aspectos do vento na América do Norte.

Campos vetoriais são funções que associam vetores a pontos no espaço. Nessas funções, os pontos no espaço (do R² ou R³) constituem o conjunto domínio, enquanto o conjunto de vetores correspondentes aos seus respectivos pontos constitui o conjunto imagem.

Suponha um campo vetorial F sobre R³ como o ilustrado na Figura 2.

Figura 2 – Campo vetorial no R³.

Fonte: STEWART, 2007.

Podemos reescrever esse mesmo campo vetorial em termos das funções componentes P, Q, R como:

F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k

Imagine um líquido fluindo uniformemente em um cano e seja V(x, y, z) o vetor velocidade em um ponto (x, y, z). Então V associa um vetor a cada ponto (x, y, z) de um certo domínio E (interior do cano), e assim V é um campo vetorial em R_­³ chamado campo de velocidade. Um campo de velocidade possível está ilustrado na Figura 3.

Figura 3 – Campo de velocidade de escoamento

 de fluido. Fonte: STEWART, 2007.

2.        OPERADORES DIFERENCIAIS

VETOR GRADIENTE

Seja f uma função de três variáveis x, y e z, o gradiente de f é a função vetorial ∇f definida por 

O valor máximo de uma derivada direcional D_u f(x) é |∇f(x)| e ocorre quando o vetor unitário u tem a mesma direção e sentido que o vetor gradiente.

O vetor gradiente indica a direção e sentido de maior crescimento da função f (maior taxa de variação).

Figura 4 – Superfície, contornos e campo gradiente.

Observe na Figura 4 que os vetores do campo gradiente representados no plano x-y são perpendiculares às curvas de nível. Os valores de f se mantêm constantes quando nos movemos ao longo da curva de nível.

Se considerarmos um mapa topográfico de um morro (Figura 5) e se f(x, y) representar a altura acima do nível do mar do ponto de coordenadas (x, y), então a altura de maior crescimento pode ser desenhada como na Figura 5, fazendo-a perpendicular a todas as curvas de contorno. Esse fenômeno pode ser observado na natureza, onde os cursos d’água seguem as curvas de maior decrescimento.

Figura 5 – Mapa topográfico de um morro.

     Os vetores gradientes são mais longos onde as curvas de nível estão mais próximas uma das outras e mais curtos quando elas estão mais distantes entre si (Figura 6). Isso se deve ao fato de o comprimento do vetor gradiente ser o valor da derivada direcional de f e a proximidade das curvas de nível indicar uma grande inclinação (gradiente) do gráfico.

Figura 6 – Campo de vetor gradiente de f(x, y) = x²y – y³.

Fonte: STEWART, 2007.

ROTACIONAL

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial sobre R³ e as derivadas parciais de P, Q e R existem, então o rotacional de F é um campo vetorial sobre R³ definido por

Em outras palavras, o rotacional pode ser dado por:

rot F = ∇ × F

Pode-se pensar em ∇ como um vetor com componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z. Dessa forma, o produto vetorial será:

 

Teorema: Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então:

rot (∇f) = ∇ × (∇f) = 0

pelo Teorema de Clairaut-Schwarz.

A razão para o nome rotacional é que o vetor rotacional está associado com rotações. Suponha que F represente um campo de velocidade em mecânica dos fluidos. Partículas perto (x, y, z) no fluido tendem a rodar em torno do eixo que aponta na direção de rot F(x, y, z), e o comprimento do vetor rotacional é a medida de quão rápido as partículas se movem em torno desse eixo (veja figura 7). Se rot F = 0 no ponto P, então o fluido não gira em P e F é chamado irrotacional em P. Em outras palavras, não existe redemoinho ou sorvedouro em P.

Figura 7 – Vetor rotacional. Fonte: STEWART, 2007.

Se rot F = 0, uma pequena roda com pás deslizaria com o fluido, mas não rodaria em redor de seu eixo. Se rot F ≠ 0, a roda com pás giraria em torno de seu eixo (ver Figura 8).

Figura 8 – Roda com pás girando em fluido onde rot F ≠ 0.

Figura 9 – Redemoinho em fluido.

DIVERGÊNCIA

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R³ e existem ∂P/∂x, ∂Q/∂y e ∂R/∂z, então a divergência de F é a função de três variáveis definidas por

Observe que rot F é um campo vetorial, mas div F é um campo escalar. Em termos do operador gradiente  = (∂/∂x) i + (∂/∂y) j + (∂/∂z) k, a divergência de F pode ser escrita simbolicamente como o produto escalar de  e F:

div F = ∇ ∙ F

Teorema: Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial sobre R³ e P, Q e R têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então:

div rot F = ∇ ∙ (∇ × F) = 0

porque os termos se cancelam aos pares pelo Teorema de Clairaut-Schwarz.

Novamente, a razão para o nome divergência pode ser entendida no contexto da mecânica dos fluidos. Se F(x, y, z) é a velocidade de um líquido (ou gás), então div F(x, y, z) representa a taxa líquida de variação (com relação ao tempo) da massa do líquido (ou gás) fluindo no ponto (x, y, z) por unidade de volume. Em outras palavras, div F(x, y, z) mede a tendência de o fluido diferir do ponto (x, y, z). Se div F = 0, então F é dito incompressível.

LAPLACIANO

O operador de Laplace ou laplaciano corresponde ao cálculo da divergência do gradiente de um campo vetorial ∇f. Se f é uma função de três variáveis, temos:

A expressão  ∇∙(∇f)  acima pode ser abreviada como  ∇²f.

  

3.       REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

STEWART, J. Cálculo. 5ª Edição. São Paulo: Thomson Learning, 2007. Volume II.